今天是虎年的大年初一!祝大家虎年行大運 🐯!但不免俗地還是要來發一篇線性代數的筆記囉~這篇筆記會延續上一篇筆記的代數結構開始進行介紹，首先介紹的是體(Group)這個結構，這個結構是環(Ring)底下的一個子結構(P.S.上一篇有介紹唷!)，一起來看看要如何操作它吧!

本篇筆記由我與國立嘉義高中數資班黃佑得共同持有!

$(S,*)\implies$群
(1) 封 $\implies$ 群
(2) 結 $\implies$ 半群
(3) 單 $\implies$ 么半群
(4) 反 $\implies$ 群
(5) 交 $\implies$ 交換群

考慮$(G,*)$$($如$(\mathbb{Z},+))$

  • (i)封閉性: $a*b\in G, \forall a,b\in G$，最重要的性質。

  • (ii)結合律: $(a*b)*c=a*(b*c),\forall a,b,c \in G$

    —semi group $\uparrow$—

  • (iii)單位元素:$\exists !e\in G s.t. e*a=a*e=a, \forall a\in G$

    —monoid $\uparrow$—

  • (iv) 反元素: $\exists !a^{-1}\in G$ $s.t.$ $a^{-1}*a=a*a^{-1}=1,\forall a \in G$

    —group $\uparrow$—

  • (v)交換律: $a*b=b*a, \forall a,b \in G$

    —abelian group $\uparrow$—

Practical Drill

e.g. 判斷下列是否屬於群(Group)
(1) $(\mathbb{N},+)\implies \times$ (2) $(\mathbb{Z},+)\implies \circ$

(3) $(\mathbb{Z},-)\implies \times$ (4) $(\mathbb{Z},\cdot) \implies \times$

(5) $(\mathbb{Q},+)\implies \circ$ (6) $(\mathbb{Q},\cdot)\implies \times$

(7) $(\mathbb{Q}$ \ ${0},\cdot) \implies \circ$ (8) $(\mathbb{Q}^c,+)\implies \times$

(9) $(\mathbb{Q}^c,\cdot)\implies \times$ (10) $(\mathbb{R}^2,+)\implies \circ$

(11) $(\mathbb{R}^2,\cdot) \implies \times$ (12) $(\mathbb{R}^3,\times)\implies \times$

(13) $(M_2(\mathbb{R}),+)\implies \circ$ ($M:$Matrix，方陣) (14) $(M_2(\mathbb{R}),\cdot)\implies \times$

(15) 令$GL_2(\mathbb{R})=${$A\in M_2(R)|det(A)\neq 0$}$\implies(GL_2(R),\cdot)\implies \circ$ (不可交換，無限群)
($GL:$可逆矩陣(General Linear Group，一般線性群))

(16) $R=2$階旋轉矩陣$\Rightarrow (R,\cdot)\implies \circ$

(17) 定義 $P_2(\mathbb{R})=${$a_2x^2+a_1x+a_0 | a_i \in \mathbb{R}, \forall i=0,1,2$}$\implies \circ$

(18) 定義$S_n=${$f:${$1\sim n$}$\to ${$1\sim n$}$|f$ $is$ $1-1,onto$}$\implies (S_n,\circ)\implies \circ$ (不可交換，有限群)(可證明五次方程式無公式解，A5)
e.g.
$S_2=${$\left(\begin{matrix}1 & 2 \\1 & 2 \\\end{matrix}\right)=e,\left(\begin{matrix}2 & 1 \\1 & 2 \\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1 & 2\end{matrix}\right)$}

$(f_2 \cdot f_2)(1)=1$、$(f_2 \cdot f_2)(2)=2$

$S_3=${$\left(\begin{matrix}1 & 2 & 3\\1 & 2 & 3 \\\end{matrix}\right)=e,\left(\begin{matrix}1 & 2 & 3\\1 & 3 & 2 \\\end{matrix}\right)=(2\ \ 3),(1\ \ 2),(1\ \ 3),(1\ \ 2\ \ 3),(1\ \ 3\ \ 2)$}

$(123)\circ(12)${$123$}$=${$321$}、$(12)\circ(123)${$123$}$=${$132$}

$Thm1.$ 任何有限群都是$S_n$的一個子群 $for\ some\ n\ \in
\mathbb{N}$
$Thm2.$ $S_n$ is non-ab, $\forall n >= 3$

Exercise:
$Q1:$
$(S_4,\circ)=?$
$Q2:$
比較 $Z_6$ {$0,1,2,…,5$} 和 $S_3$ {$e,(12),(23)…$}，是否存在一一對應的關係。

(19) 定義$\mathbb{Z}_n=${$0,1,2…n-1$}為 $mod\ n$ 的餘數 $\Rightarrow$ $(\mathbb{Z}_n,+) \implies\ \circ$

(20) $(\mathbb{Z}_n,\cdot)$ $\implies$ $\times$
e.g. $n=6$

$\mathbb{Z}6:$

$\bar{0}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ $\bar{3}$ $\bar{4}$ $\bar{5}$
$\bar{0}$ $\bar{0}$ $\bar{0}$ $\bar{0}$ $\bar{0}$ $\bar{0}$ $\bar{0}$
$\bar{1}$ $\bar{0}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ $\bar{3}$ $\bar{4}$ $\bar{5}$
$\bar{2}$ $\bar{0}$ $\bar{2}$ $\bar{4}$ $\bar{0}$ $\bar{2}$ $\bar{4}$
$\bar{3}$ $\bar{0}$ $\bar{3}$ $\bar{0}$ $\bar{3}$ $\bar{0}$ $\bar{3}$
$\bar{4}$ $\bar{0}$ $\bar{4}$ $\bar{2}$ $\bar{0}$ $\bar{4}$ $\bar{2}$
$\bar{5}$ $\bar{0}$ $\bar{5}$ $\bar{4}$ $\bar{3}$ $\bar{2}$ $\bar{1}$

(21) $(\mathbb{Z}_p,\cdot)\implies \times$

(22) $(\mathbb{Z}_p-{0},\cdot) \implies \circ$ $(ab. group)$(交換群)

$\mathbb{Z}5:$

$\bar{1}$ $\bar{2}$ $\bar{3}$ $\bar{4}$
$\bar{1}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ $\bar{3}$ $\bar{4}$
$\bar{2}$ $\bar{2}$ $\bar{4}$ $\bar{1}$ $\bar{3}$
$\bar{3}$ $\bar{3}$ $\bar{1}$ $\bar{4}$ $\bar{2}$
$\bar{4}$ $\bar{4}$ $\bar{3}$ $\bar{2}$ $\bar{1}$