這篇筆記會開始介紹線性代數的基本性質與定義操作，是線性代數的重要基礎，也可以推演出日後筆記的一些重要觀念，尤其是八大基本性質的部分一定要好好熟悉喔!一起來看看吧~

本篇筆記由我與國立嘉義高中數資班黃佑得共同持有!

Definition

若$V$是一個向量空間、$F \in \mathbb{R}$
若$x,y \in V \Longrightarrow x+y \in V$
若$c \in F$, $x \in V \Longrightarrow c \cdot x \in V$
且滿足

  1. $(x+y)+z=x+(y+z), \forall x,y,z \in V$
  2. $\exists !$ $0 \in V s.t. 0+x=x, \forall x \in V$
  3. $\exists !$ $-x \in V s.t. x+(-x)=0, \forall x \in V$
  4. $x+y=y+x, \forall x,y \in V$
  5. $(ab)x=a(bx), \forall a,b \in F, x \in V$
  6. $\exists !$ $1 \in F s.t. 1 \cdot x = x, \forall x \in V$
  7. $(a+b)x=ax+bx,\forall a,b \in F,x \in V$
  8. $a(x+y)=ax+by,\forall a \in F, x,y \in V$

等八大基本定義，則形成線性代數結構(Linear Algebra)

代數結構(Linear Algebra)

  • 具有線性性質的代數結構

線性性質

函數 $\rightarrow$ $f(x+y)=f(x)+f(y)、f(c \cdot x)=c \cdot f(x)$

  • $f(x)=mx ,\forall m\in \mathbb{R}$，是線性
  • $f(x)=x^2$，非線性
  • $f(x)=mx+b,\forall m,b\in \mathbb{R}$，非線性
  • 期望值: $E(ax+by)=aE(x)+bE(y),\forall a,b\in \mathbb{R}$，是線性
  • 標準差: $\sigma(ax+b)=|a|\sigma(x),\forall a,b\in \mathbb{R}$，非線性
  • $d(微分算子): f(x),g(x)$為 $x$ 的方程式 $\Rightarrow d(f+g)=d(f)+d(g)，d(cf)=c\cdot d(f),\forall c\in \mathbb{R}$，是線性
  • $\int(積分算子):f(x),g(x)$為 $x$ 的方程式$\Rightarrow \int(f+g)=\int (f)+\int(g),\int (f)=c\int (f),\forall c\in \mathbb{R}$，是線性
  • $\sum\limits(a_k+b_k)=\sum\limits a_k + \sum\limits b_k，\sum\limits ca_k = c\sum\limits a_k$，是線性
  • 驗證是否為線性函數: $f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$ 是否成立?

集合 $\rightarrow$ $a,b \in \mathbb{S} \implies a+b \in \mathbb{S}、a \in \mathbb{S}, c \in \mathbb{F} \implies c \cdot a \in \mathbb{S}$

  • $(\mathbb{Z},+),(\mathbb{Q},+),(\mathbb{R},+),(\mathbb{C},+)$
  • $P_n(\mathbb{R})={$次數小於等於 n 次的多項式$}$
  • $\mathbb{R}^2(平面向量)、\mathbb{R}^3(空間向量)…\mathbb{R}^n$
  • 方陣$M_n(\mathbb{R})$、矩陣$M_{m\times n}(\mathbb{R})$

Algebraic Structure

  • 群 1 運算(次數)
  • 模 1.5 運算(次數)
  • 環 2 運算(次數) $(\mathbb{Z},+,\cdot)$
  • 向量空間 $(\mathbb{R}^2,+,\cdot)$，這裡的 $\cdot$ 是指係數積
  • 體 $(\mathbb{Q},+,\cdot)$

Definition: 令$\mathbb{S}=$ 集合，$*=$ 運算 $\implies$ 能滿足特定規則的$(\mathbb{S},*)$稱為一個代數結構
e.g. 群環體模 v.s. lattice(格 in 化學),maniford(流形)