基礎的線性代數對於量子的運算是不可或缺的，因此這幾篇文章會先來建立線性代數的相關基礎概念。

Foundamental Linear Algebra of Quantum Computing Part I

Why all math?

許多的量子學習者總被大量的數學運算搞得暈頭轉向，然而，數學對於量子而言，是必要的基礎以及工具，尤其對於線性代數(向量(Vector)、矩陣(Matrix))、機率(Probability)以及複數(Complex Numbers)等領域，會是量子運算的根基。在未來我們將會提及，現在所進行的所有運算將都能利用數學語言來呈現。高中必修的部分，也將在這裡快速帶過。

Vector

向量是許多領域的基礎，接續下來所要介紹的複數與矩陣等都會用到相關的概念，要好好學習喔!這裡主要整理比較常用到的概念，比較簡單的細節部份就有待各位自行鑽研囉~(其實學校學的也夠用了啦 XD)

Vector Notation

$\vec{v}=\left(
\begin{array}{}
v_x \
v_y \
\end{array}
\right)$

Vector Magnititude

$|\vec{v}|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}$

Vector Direction

$\angle \vec{v}=\tan^{-1}\dfrac{v_x}{v_y}$

Vector Addition

$\vec{a}+\vec{b}=\left(
\begin{array}{}
a_x + b_x \
a_y + b_y \
\end{array}
\right)$

Vector-Scalar Multiplication

$c\times \vec{v}=\left(
\begin{array}{}
c\times v_x \
c\times v_y \
\end{array}
\right)$

Vector Generalization

咦，向量只有這樣而已嗎?沒辦法，會用到的簡單到不知道要寫什麼了$QQ$

Complex Numbers

Why Complex Numbers?

$ax^2+bx+c=0\Rightarrow x=\dfrac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$D=\sqrt{b^2-4ac}$
If $D<0$ $?$ $\Rightarrow$ $\sqrt{-1}$ $???$

Then, we defined $\sqrt{-1}$ as $i$ !

A complex number consists of both a real and imaginary component

Representation

Complex numbers can additionally be represented as vectors, in the 2D complex plane!

Complex Number Addition

$(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)$

Complex Number Multiplication

$(a+ib)\times(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$

Complex Number Conjugation

共軛複數是一個全新的觀念，要注意一下唷~

$\overline{(a+ib)}=(a-ib)$

Complex Number Modulus

$|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2}$
$|a+ib|^2=a^2+b^2$

接下來是重要的理論，我們將利用尤拉定理(Euler’s Formula)來進行複數的帶換，加入角度的概念，將複數利用另外一種形式來表示。

Euler’s Formula & Complex Exponentials

$e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi→$(Euler’s Formula)
$z=x+iy=|z|(\cos\phi+i\sin\phi)=re^{i\phi}$
$r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$
$\phi=\tan^{-1}(\dfrac{y}{x})$